ai 人妖 数学之好意思：圆锥弧线、腹黑线、雅各布线、阿基米德线、叶形线、玫瑰线

这节咱们通过画弧线来一齐感受数学的艳丽，其中标题有个腹黑线，也叫笛卡尔腹黑线，是笛卡尔写给公主的一个函数，函数图像像一个爱心而得名，是个哀悼的故事。笛卡尔ai 人妖，全球齐很熟识，最常见的即是发明了坐标系，将几何和代数协调起来了，创立了明白几何，是以也叫作念“明白几何之父”。

是以绘制基本齐是在坐标系内部进行，咱们先来熟识何如画一个圆？

1、画圆、圆柱、球

x²+y²=25

没错，这么的一个函数，就不错画出来一个以(0，0)为圆心，半径为5的圆，若是圆心位置变化，比如：

(x-2)²+(y+3)²=25

圆心即是在点(2，-3)的位置，函数是一种映射，也即是说我输入一个x值，盘算惩办之后会获得一个y值，比如在第一个函数中，咱们输入x=0，将会获得y=5，这么的一个对应相干，将这么的一个点一个点画出来，就成了一个圆。

若是在三维中，就不错默示为圆柱体(高是∞)：

x²+y²=25

诚然还有一个变量是z轴，是以它的本色步地为：

x²+y²+0z²=25

诚然若是有z轴的情况：

x²+y²+z²=25

即是一个球心(0，0，0)，半径为5的圆球体，如下图：

图片ai 人妖

好了，熟识了圆、圆柱体、球体在二维和三维中的默示，这里的坐标是常见的笛卡尔坐标系，很厚情况下使用极坐标，可能更粗野，极坐标即是平面上的有序数对，这么的点(极径，极角)，如：M(ρ，θ)，就不错很粗野画各式弧线。

比如画一个半径为4的圆就不错底下这么画出：

Curve((4;θ)，θ，0，2*pi)

θ角度旋转1周(2π)，半径为4的不变值

在笛卡尔坐标系中，咱们知谈是这么的方程：

x²+y²=16

这里其实是

x=ρ*cosθy=ρ*sinθ

也不错求得ρ=4，诚然这里的本色即是参数方程。

2、圆锥弧线

圆锥弧线手脚高考必考题型，亦然让好多同学感到头晕的常识点，其实不要怕，咱们先从兴趣启动，熟识这个弧线，从绘制中去掌合手它有哪些性质就好了，这节就使用画弧线图来感受数学的精巧。

关于画弧线，咱们好多技能使用极坐标，这么很粗野。

滑动块a，0到2，增量为0.1

Curve(((2/(1-a*sinθ));θ)，θ，0，2*pi)

其中a为离心率，离心率的变化就会产生底下四种弧线：

当a=1，为抛物线当a>1，为双弧线当a<1，为椭圆当a=0，为圆

使用e来默示离心率也不错，只不外在GeoGebra中e即是exp(1)，若是e不是滑动块(变量)的情况，默示的是当然数e，是合计了健忘界说变量而使用a。

关于极坐标所对应的直角坐标系方程，我这里也趁便给全球推导下，这里以双弧线为例，如下图：

图片

有了这个推导，咱们需要将圆锥弧线从极坐标退换到笛卡尔坐标系就相等粗野了。

3、圆线

yuan(x，θ)=-x*cotθ+cscθ

这里是双变量，是以咱们需要在3D视图中搜检，点击视图--勾选3D绘图区

咱们念念要在二维平面中搜检，不错使用序列来默示，这些直线就构成了中间一个圆，是以叫作念圆线：

Sequence(yuan(x， θ)， θ， 0， 6π， 0.1)

图片

雷同于先画圆然后作念切线，咱们将圆分红50份，也即是50个点，然后使用Tangent函数画出圆的切线，zip是映射函数，将序列点的切线全部画出来

S1=Sequence(Point(x^2+y^2=4， k)， k， 0， 1， 1/50)zip(Tangent(a， x^2+y^2=4)， a， S1)

4、笛卡尔腹黑线

由于像一颗爱心，是以得名为笛卡尔心形弧线

滑动条a，-5到5，有凹凸傍边四个朝向：

ρ1=a*(1+cosθ) ρ2=a*(1+sinθ)

咱们来对这条弧线作念切线。

滑动条n=Slider(1，100，1)

弧线上描点

S1=Sequence(Point(ρ1， k)， k， 0， 1， 1/n)

历程S1上的点，作念弧线的切线

S2=zip(Tangent(a， ρ1)， a， S1)

这里先容另一种爱心步地：

x^2+y^2=1+abs(x) y

除了上头这种，还不错使用两个函数来组合成一个不错填充神志的心形，愈加漂亮：

f1=sqrt(1-(|x|-1)^2)f2=cos^-1(1-|x|)-3

将内部填充神志，不错使用：IntegralBetween积分介于

IntegralBetween(f1，f2，-2，2)

这么就将f1和f2两个函数的错乱[-2，2]之间的积分(面积)给披露了出来，然后选拔红色，虚实选拔100，即是一颗爱心了。

图片

其中a=8.86即是这颗心的面积了。

再来看下使用直线组合成的腹黑线

xz(x，θ)=(tan(θ/2)(cos(θ)+2x*cosθ+x-1))/(2*cosθ-1)

使用序列在平面披露一组腹黑线：

Sequence(xz(x，θ)， θ， 0， 2π， 0.1)

图片

5、叶形线

还有一个诗一样的名字：茉莉花瓣弧线

图片

滑动块a，1到20

x^3+y^3=a*x*y

大略极坐标：

Curve((a*sin(θ)*cos(θ)/(sin(θ)^3+cos(θ)^3);θ)，θ，0，2*pi)

直线构成叶形线：

dke(x，θ)=(tan(θ)(3*tanθ+x*tan^3(θ)-2x))/(2*tan^3(θ)-1)Sequence(dke(x，θ)， θ， 0， 2π， 0.1)

6、玫瑰线

看上去像花瓣，很漂亮。

图片

滑动块n，1到10

当n为奇数时，有n个花瓣；当n为偶数时，有2n个花瓣

Curve((4*(cos(n*θ));θ)，θ，0，2*pi)

直线构成玫瑰线

mgx(x，θ)=(2x*(cos(2θ)-2cos(4θ))+1+cos(6θ))/(2sin(2θ)+4sin(4θ))Sequence(mgx(x，θ)， θ， 0， 2π， 0.1)

7、雅各布弧线

ygb(x，θ)=x + (exp(θ) - 2x*sinθ) / (sinθ - cosθ)

双变量函数需要在3维中披露：视图--勾选3D绘图区

小母狗 文爱

使用序列在平面披露一组雅各布弧线：

Sequence(ygb(x， θ)， θ， 0， 2π， 0.1)

图片

8、阿基米德螺旋线

跟雅各布弧线齐属于等角螺旋线

其中a限制螺旋线步地，b限制螺旋线间距

ajmd(x，θ)=(x*(sin(θ)+θ*cos(θ))-θ^2)/(cos(θ)-θ*sin(θ))

一样使用序列画出一组阿基米德螺旋线：

Sequence(ajmd(x， θ)， θ， 0， 2π， 0.1)

图片

通过优好意思的弧线图案感受数学之好意思ai 人妖，发现数学道理的一面。有兴趣的不错不雅看视频：

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